第17章 、哥德巴赫

冬令營的輕松的日子很快就過去了，連續兩天的結營考試才是重頭戲。結營考試模拟IMO的形式進行，連續考試兩天，每天三題，總共六題，每題滿分21分，總分126分。

CMO的比賽已經有快十年沒有出現過滿分答卷了，實際上每場CMO都是出題老師和考生的鬥智鬥勇。試卷要兼顧區分度和難度，出題人既希望出現滿分答卷又不希望出現滿分答卷。出現滿分答卷說明今年的冬令營人才輩出，也說明出題還不夠精巧。

近兩年的IMO團體金牌都被美國華裔選手包攬了，這讓國家隊的幾個老頭未免面子挂不住。所以這次的冬令營的題目難度相較于前兩年更難，更注重數學思維的選拔。

按照省份排考場，葉瑄和陳亦桐又被分到了一個考場，這意味着兩個人新一輪的較量就開始了。這段時間陳亦桐的進步非常快，這讓葉瑄有了危機感。她早就知道陳亦桐的天賦驚人，但是沒想到這段時間進步這麽神速，有時候兩個人讨論問題，她快覺得招架不住陳亦桐的想法了。

坐進考場，黑板上密密麻麻用粉筆寫着考試紀律，特別明顯用紅色粉筆加粗了——不允許使用任何形式的輔助計算工具。實際上葉瑄一直覺得這個限制對于數學競賽的意義不大，國外的AMC不僅可以使用計算器，還可以直接使用編程計算器。但是國內目前還是認為手開方和手解超越方程仍然是數學能力的一種體現。

葉瑄和陳亦桐兩個人坐在位置上安靜地折着草稿紙，等待着試卷下發。時鐘指到13：55，準時開始下發試卷，以前這個時間點是葉瑄最困倦的時候，所以上午葉瑄幹脆請假在宿舍睡覺，這個點精神百倍。

試卷一發下來，葉瑄就愣住了，倒不是試卷有多麽難，而是她意識到冥冥之中已經有東西開始改變了。她清楚地記得2009年CMO的第一題是一道數論題目，而現在變成了一道平面幾何題目。前世她比陳亦桐晚兩屆參加CMO，在參加2011年CMO的時候她把前十年的題目都做了一遍，着重研究了近三年題目的出題風格，所以2009年CMO的題目她記憶非常深刻。

葉瑄重生的蝴蝶翅膀已經開始扇動，慢慢改變了一些東西。葉瑄突然有了一種喜極而泣的感覺，故事的結局并不是一成不變的，這意味着陳亦桐的人生軌跡也有改變的可能。

葉瑄拿着卷子發呆了五分鐘，就連後排的陳亦桐都察覺了異常，連忙假裝咳嗽提醒她考試開始了。

陳亦桐的咳嗽聲把葉瑄從思考中拉了出來，進入到對試卷的分析中。葉瑄通覽了一遍卷子，她能感覺到這套題目背後的為難之意，這兩年IMO團體決賽金牌都不是中國隊，确實該在試卷上加加壓了。

第一題的平面幾何證明題，算是一道送分題了，只要找到了做輔助線的關鍵，這一道題十步之內就可以解決。如果實在沒有思路，一般第一道平面幾何都可以通過建立坐标系暴力解坐标來證明。所以第一道題一般很少有人會放棄。

看到四點共圓的條件，葉瑄和陳亦桐立刻敏銳地察覺了這一題需要取中點，再看證明乘積相等，很明顯需要利用相似三角形的性質。這道題的思路很快就出來了，取四點共圓的重點構造證明相似三角形，證明乘積成立。

第二問則是第一問的逆命題，假設EM*FN=EN*FM，是否一定有A,B,C,D四點共圓。如果說第一問是優秀的高中非競賽生可以做出來的，那麽第二問就區別了競賽生和非競賽生。

着手證明這道題，首先要判斷這道逆命題是否成立。對于競賽生熟悉相似三角形的性質，一眼就知道不成立。對于不熟悉相似性質的，找一個特殊位置就可以證明了。怎麽選擇構造這個特殊位置方便證明，又可以體現出競賽生和非競賽生的區別了。

如果在第一問選擇了建系的方法把幾何代數化的同學，第二問就要輕松許多了，直接給出坐标點就可以證明。如果選擇構造的方法，這題的思路也是分別從頭尾開始向中間證明。從頭就是找哪個特殊位置，從尾就是四點不共圓應該怎麽證明。

以葉瑄的經驗非常自然的就找到了AD平行于BC時最容易利用相似的性質證明不共圓，這是最簡單的思路。陳亦桐沒有選擇平行線，而是選擇了中點的構造方法。

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葉瑄先翻了頁，陳亦桐也緊随其後。有些不擅長平面幾何的同學從一開始就選擇建系的方法，這樣也不怎麽浪費時間。比較虧的就是中途換方法的同學會耽誤時間。

第二道數論題目對于有經驗的同學思路也非常明顯，直接費馬小定理就可以解出所有滿足條件的素數解。但是這道題目的關鍵不在于怎麽得出所有解，而在于如何得到滿分。葉瑄就在這裏犯了經驗主義錯誤，她一眼就看出p=2，q=5的時候，原式才存在解，便沒有讨論當p，q為其他值時是否存在素數解。

第三道題則是一道圖論題目，這其實是葉瑄的弱項，不過初等數學中的圖論問題，葉瑄仍然可以憑借着她豐富的經驗找到套路。四個半小時的時間做完三道題，葉瑄僅僅用了一個半小時就做完了卷子。按照規定，考試可以提前半個小時卷子，這意味着葉瑄還要在考場裏再待三個小時。

冷懿德在考場外巡考的時候，看到葉瑄趴在那睡覺擾亂軍心，讓其他學生一下子也緊張了起來，實在看不過眼。便進教室把葉瑄連人帶卷子一起提溜到監考室了。

“你坐那先坐一會兒，我先幫你把卷子改了，你要考不到滿分，你看我怎麽收拾你。”

冷懿德喊了另一個巡考官員進來一起改這套卷子，倒不是他一個人不能改卷，而是需要人來證明他改卷子的過程是公平公正的，沒有幫助葉瑄實施作弊行為。

越看卷子，冷懿德的眉頭皺的越深，這套答題卡看起來無比漂亮，沒有絲毫塗改的地方，看起來一氣呵成，就是感覺在細節上處理的很差。第二題數論很明顯證明少了一半，但是以他對于葉瑄的了解，她不會看不出來。

“53分！你明天再這個态度，小心國家集訓隊都進不去。”冷懿德明顯是有了些生氣。

“不可能啊，這三道題我檢查了一遍，不可能被扣十分啊。”葉瑄能夠預料到冷懿德給自己扣一些步驟分，但是沒想到會直接扣了10分，這意味着解題過程已經出現了嚴重性的錯誤。

“我問你，pq非特值的情況下你為什麽不寫上？”冷懿德給了葉瑄一點提示。

“pq非特值的情況下，很明顯沒有素數解啊，這題就五對解，我都寫出來了啊。”

“很明顯是多明顯？你現在是一個作答者的身份來做這道題，不是出題者，不能想當然。我知道你不是不會，但是你不寫我只能當你和普通學生一樣不會了。”冷懿德有些恨鐵不成鋼，他能感覺到葉瑄身上的靈氣，但是他也感受到了和她年齡不符合的不踏實。

“對不起，冷教授，這是我的問題。我太想當然了，所以失去了做數學的嚴謹。”冷懿德的話讓葉瑄有點羞愧，她仗着自己多活一世的積累，所以一點都不踏實。

按照她前世養成的良好的習慣，她會先在腦海裏理一遍思路，然後再論證一遍這樣的解法會不會有漏洞。而現在的她直接仗着經驗，看完題眼直接開始寫答案，雖然答案肯定沒問題，卻喪失了論證的嚴密性。

葉瑄身上是帶着傲氣的，當然有本事的人總是有點傲氣的。但是葉瑄沒有明白她是有着重活一世的積累的，她接受了完備的數學學術訓練，滿級大佬又回來屠殺新手村，這完全不值得驕傲。

“你跟我過來，我讓你看看什麽叫做人外有人，天外有天。”冷懿德把葉瑄叫到了監控室，第一排正對監控坐着的男生桌子上放着一瓶礦泉水，低頭不停的演算着。

“你知道那是誰嗎？”冷懿德指了指監控最中央的那個寸頭男生。

雖然這已經是這個年代最高清的攝像頭，但是鏡頭仍然非常模糊，葉瑄搖了搖頭，表示自己沒有認出來。

“那是你魏應晖師兄，2008年IMO滿分金牌得主。你不會以為這套題人家需要做四個半小時吧，他比你還先完成這套卷子，人家老老實實的坐在位置上在想其他的解法，他的卷子我是可以作為标準答案來給你們改分的。”

一提到魏應晖的名字，葉瑄立刻清醒了。魏應晖是在陳亦桐之前，唯一一個兩屆代表國家隊參賽獲得金牌的。她當年進入國家隊的時候，魏應晖已經進入京北大學讀書了，再後來她出國讀書，就再也沒見過自己這位“傳說”中的師兄了。

葉瑄在監視器裏搜尋着陳亦桐的身影，沒想到陳亦桐也正準備提前交卷，葉瑄立馬向冷懿德撒嬌：“冷教授，您不能光說我，陳亦桐也提前交卷了。”

“哼，那孩子可比你仔細多了，不信看成績就知道了。”冷懿德沒上葉瑄的當。

下午考試結束，有的省的領隊會召集本省的學生開個小會點評一下白天的題目，也是給明天的考試提個醒。不過心态不好的同學最好不要參加這種活動，不然明天的考試容易崩潰。

這種活動陳亦桐和葉瑄是向來不參加的，他們倆參加這種活動就是給其他考生添堵，他倆還沒有那麽不自覺。

作者有話說：

感謝糖芝，阿巴阿巴，oyyling的評論

這套題目就是09年數學競賽冬令營的原題，大家網上可以搜到，感興趣的同學看着答案也能理解一部分。

其實這裏面的一些東西對我們平時數學解題也有一定的啓示：例如對于證明x命題是否總是成立，如果總是成立那就是正推法，用已經條件可以推到結論；如果不總是成立那就更簡單了，找到特殊位置來否定。不過全國卷考區不怎麽用到類似的思路，北京卷的數列壓軸倒是偶爾有此類的證明。